要找到二次函数与坐标轴的交点,我们需要考虑两种情况:与x轴的交点和与y轴的交点。
与x轴的交点
二次函数与x轴的交点是函数值 \( y = 0 \) 时的 \( x \) 值,我们需要解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。
这个方程的解可以通过求根公式来找到:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
\( a \)、 \( b \) 和 \( c \) 是二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的系数,判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 决定了方程的解的个数:
- \( \Delta > 0 \),则方程有两个不同的实数解,即二次函数与x轴有两个交点。
- \( \Delta = 0 \),则方程有一个实数解,即二次函数与x轴有一个交点(顶点)。
- \( \Delta < 0 \),则方程没有实数解,即二次函数与x轴没有交点。
与y轴的交点
二次函数与y轴的交点是 \( x = 0 \) 时的 \( y \) 值,我们只需将 \( x = 0 \) 代入二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \):
\[ y = a(0)^2 + b(0) + c = c \]
二次函数与y轴的交点是 \( (0, c) \)。
- 与x轴的交点:解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)。
- 与y轴的交点: \( (0, c) \)。
\[
(0, c)
\]