在数学中，线性变换与矩阵之间存在着紧密而直接的对应关系，一个线性变换可以由一个矩阵来表示，反之亦然，即每一个矩阵都对应一个线性变换，以下是关于线性变换与矩阵对应关系的详细解释：

1、线性变换：

- 线性变换是一种保持向量空间结构不变的变换，它满足加法和数量乘法的分配律。

- 在线性代数中，线性变换通常指的是一个向量空间到自身的映射，该映射满足线性性质，即对于向量空间中的任意元素α, β和数域P中的任意数k，都有T(α+β)=T(α)+T(β)和T(kα)=kT(α)。

2、矩阵表示：

- 矩阵是线性变换的一种具体表示形式，通过矩阵，我们可以将线性变换的操作简化为矩阵与向量的乘法运算。

- 对于一个n维向量空间，如果选择了一组基{v1, v2, ..., vn}，那么对于该空间中的任意向量x和经过线性变换后的向量y=T(x)，存在一个唯一的n×n矩阵A，使得y=Ax，这个矩阵A就是线性变换T在这组基下的矩阵表示。

3、线性变换与矩阵的对应关系：

- 线性变换与矩阵之间的对应关系是通过基的选择来实现的，不同的基选择会导致不同的矩阵表示，但所有这些矩阵都代表了同一个线性变换。

- 如果两个线性变换在某个基下具有相同的矩阵表示，则它们在这个基下的作用是相同的，即它们将输入空间中的每个向量映射到相同的输出向量上。

4、矩阵运算与线性变换的性质：

- 矩阵的乘法、加法等运算与相应的线性变换的复合、叠加等操作之间存在一一对应的关系。

- 两个线性变换的复合可以通过它们对应的矩阵的乘法来实现；线性变换的零空间（或称核）可以通过求解相应矩阵的齐次线性方程组来找到。

线性变换与矩阵之间是一一对应的关系，这种对应关系使得我们可以通过研究矩阵的性质来了解线性变换的性质，反之亦然，在高等代数中，矩阵理论和线性变换理论是相互补充、相互促进的两大支柱。