要解二阶常系数线性微分方程，我们考虑以下形式的方程：

\[ a y'' + b y' + c y = f(x) \]

\( a \)， \( b \)，和 \( c \) 是常数，且 \( f(x) \) 是已知函数，解这个方程的步骤如下：

1、求解齐次方程：我们求解对应的齐次方程：

\[ a y'' + b y' + c y = 0 \]

为了找到齐次解 \( y_h \)，我们假设解的形式为 \( y = e^{rx} \)，将 \( y = e^{rx} \)， \( y' = re^{rx} \)，和 \( y'' = r^2 e^{rx} \) 代入齐次方程，我们得到：

\[ a r^2 e^{rx} + b r e^{rx} + c e^{rx} = 0 \]

由于 \( e^{rx} \neq 0 \)，我们可以将整个方程除以 \( e^{rx} \)：

\[ a r^2 + b r + c = 0 \]

这个二次方程被称为特征方程，特征方程的根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 确定了齐次解的形式：

- \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 是不同的实数，那么齐次解为：

\[ y_h = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} \]

- \( r_1 = r_2 = r \)（一个重复根），那么齐次解为：

\[ y_h = (C_1 + C_2 x) e^{rx} \]

- \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 是复数， \( r_1 = \alpha + \beta i \) 和 \( r_2 = \alpha - \beta i \)，那么齐次解为：

\[ y_h = e^{\alpha x} (C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x)) \]

2、求解非齐次方程：对于非齐次方程 \( a y'' + b y' + c y = f(x) \)，我们需要找到一个特解 \( y_p \)，特解的形式取决于 \( f(x) \) 的形式，以下是一些常见情况：

- \( f(x) \) 是多项式，指数，正弦，余弦，或这些函数的组合，我们使用待定系数法来找到特解。

- \( f(x) \) 是任意函数，我们使用参数变易法来找到特解。

3、一般解：非齐次方程的一般解是齐次解和非齐次解的和：

\[ y = y_h + y_p \]

让我们通过一个例子来说明这个过程，考虑方程：

\[ y'' - 3y' + 2y = e^x \]

我们求解齐次方程：

\[ y'' - 3y' + 2y = 0 \]

特征方程为：

\[ r^2 - 3r + 2 = 0 \]

这个二次方程可以分解为：

\[ (r-1)(r-2) = 0 \]

根为 \( r_1 = 1 \) 和 \( r_2 = 2 \)，齐次解为：

\[ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} \]

我们找到非齐次方程的特解，由于 \( f(x) = e^x \)，我们假设特解的形式为：

\[ y_p = Axe^x \]

我们计算 \( y_p' \) 和 \( y_p'' \)：

\[ y_p' = Ae^x + Axe^x = Ae^x (1 + x) \]

\[ y_p'' = Ae^x + Ae^x + Axe^x = Ae^x (2 + x) \]

将 \( y_p \)， \( y_p' \)，和 \( y_p'' \) 代入原方程，我们得到：

\[ Ae^x (2 + x) - 3Ae^x (1 + x) + 2Axe^x = e^x \]

\[ Ae^x (2 + x - 3 - 3x + 2x) = e^x \]

\[ Ae^x (-1 - x) = e^x \]

\[ A(-1 - x) = 1 \]

\[ A = -1 \]

特解为：

\[ y_p = -xe^x \]

一般解为：

\[ y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - xe^x \]

方程的解为：

\[ C_1 e^x + C_2 e^{2x} - xe^x \]