分析

为了回答如何证明实变函数中黎曼可积性（Riemann integrability）的充分条件，我们需要理解以下几个关键概念和步骤：

1、黎曼可积性的定义：

- 一个定义在闭区间 \([a, b]\) 上的函数 \(f(x)\) 被称为黎曼可积，如果对于任意给定的正数 \(\epsilon\)，总存在一个分割 \(P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}\) 以及相应的 Riemann 和 \(S_n\), 使得当最大子区间的长度 \(\lambda(P) = \max_{i=1}^n (x_i - x_{i-1})\) 趋于零时，\(S_n\) 趋于某个常数 \(I\).

2、充分条件的形式化描述：

- 我们通常考虑一些函数类作为黎曼可积性的充分条件，连续函数、单调函数或阶梯函数等。

情况一：连续函数

若函数 \( f \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，则 \( f \) 是黎曼可积的，证明过程如下：

- 根据Heine-Cantor引理，连续函数在一个闭合且有限区间上是有界的，因此可以找到一个上界 \( M \) 满足对所有 \( x \in [a, b] \)，有 \( |f(x)| \leq M \)。

- 对区间 \([a, b]\) 进行任意分割 \( P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \)，构造Riemann和 \( S_n \):

$$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(t_i^*) (x_i - x_{i-1}) $$

\( t_i^* \) 是在 \( [x_{i-1}, x_i] \) 内的任一点，由于 \( f \) 连续，根据极限性质，对于任意 \(\epsilon>gt0\)，我们可以找到足够小的分割使得每个 \( (x_i - x_{i-1}) \) 都小于某个值，从而使所有子区间上的 \( f(t_i^*) \) 的变动范围很小。

- 利用积分的极限定义，当 \(\lambda(P) \) 趋近于零时，所有的 Riemann 和将收敛到某个确定的值，即定积分的值。

情况二：单调函数

若函数 \( f \) 在闭区间 \([a, b]\) 上单调，则 \( f \) 也是黎曼可积的，证明如下：

- 因为函数是单调的，所以它在区间上的振幅是有限的，设其振幅为 \( V \)。

- 对区间进行任意分割 \( P = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\} \)，构造Riemann和:

$$ S_n = \sum_{i=1}^{n} f(t_i^*) (x_i - x_{i-1}) $$

根据函数的单调性，对于任意两个点 \( a < x < y \) ，都有

$$ |f(x) - f(y)| \leq V $$

- 当 \(\lambda(P)\) 趋向于零时，所有小区间上的振幅也将趋近于零，这意味着Riemann和 \( S_n \) 会逐渐逼近一个固定的值，即定积分的值。

通过上述分析与推理，我们可以得出以下结论：

- 连续函数在闭区间上总是黎曼可积的；

- 单调函数在闭区间上也是黎曼可积的，这些特性确保了这些类型的函数满足黎曼可积性的充分条件。