要理解和运用圆的切线性质，首先需要掌握切线的定义及其基本判定定理，以下将详细解释切线的性质和判定方法，并提供应用实例：

1、定义：

- 切线是与曲线上某一点处相切的直线，在圆的情况下，如果一条直线通过半径的外端且垂直于该半径，则这条直线是圆的切线。

2、判定定理：

判定条件：直线必须满足两个条件：一是通过半径的外端点，二是垂直于该半径，这两个条件共同保证了直线与圆只有一个公共点，即切点。

3、性质：

垂直性：圆的切线垂直于过切点的半径，这一点是通过反证法证明得到的，即通过假设切线不垂直于半径并推导出矛盾来证明其成立性。

推论：基于垂直性质，可以进一步推导出两个推论：经过圆心垂直于切线的直线必然通过切点，反之亦然。

4、实际应用：

解决几何问题：在求解涉及切线和半径的问题时，可以利用切线与半径垂直的性质来确定角度或证明线段之间的关系。

建立数学模型：通过切线的性质，可以构建解决实际问题的数学模型，如确定直线与圆的位置关系等。

理解和运用圆的切线性质需要从定义出发，掌握判定定理和性质定理，并能够灵活应用这些知识解决实际问题，通过具体例题的练习，可以加深对切线性质的理解，并提高解题能力。